1 # Lossy compression algorithms very often make use of DCT or DFT calculations,
2 # or variations of these calculations. This file is intended to be a short
3 # reference about classical DCT and DFT algorithms.
6 import math
7 import cmath
9 pi = math.pi
10 sin = math.sin
11 cos = math.cos
12 sqrt = math.sqrt
14 def exp_j (alpha):
15     return cmath.exp (alpha * 1j)
17 def conjugate (c):
18     c = c + 0j
19     return c.real - 1j * c.imag
21 def vector (N):
22     return [0j] * N
25 # Let us start withthe canonical definition of the unscaled DFT algorithm :
26 # (I can not draw sigmas in a text file so I'll use python code instead)  :)
28 def W (k, N):
29     return exp_j ((-2*pi*k)/N)
31 def unscaled_DFT (N, input, output):
32     for o in range(N):          # o is output index
33         output[o] = 0
34         for i in range(N):
35             output[o] = output[o] + input[i] * W (i*o, N)
37 # This algorithm takes complex input and output. There are N*N complex
38 # multiplications and N*(N-1) complex additions.
41 # Of course this algorithm is an extremely naive implementation and there are
42 # some ways to use the trigonometric properties of the coefficients to find
43 # some decompositions that can accelerate the calculation by several orders
44 # of magnitude... This is a well known and studied problem. One of the
45 # available explanations of this process is at this url :
46 # www.cmlab.csie.ntu.edu.tw/cml/dsp/training/coding/transform/fft.html
49 # Let's start with the radix-2 decimation-in-time algorithm :
51 def unscaled_DFT_radix2_time (N, input, output):
52     even_input = vector(N/2)
53     odd_input = vector(N/2)
54     even_output = vector(N/2)
55     odd_output = vector(N/2)
57     for i in range(N/2):
58         even_input[i] = input[2*i]
59         odd_input[i] = input[2*i+1]
61     unscaled_DFT (N/2, even_input, even_output)
62     unscaled_DFT (N/2, odd_input, odd_output)
64     for i in range(N/2):
65         odd_output[i] = odd_output[i] * W (i, N)
67     for i in range(N/2):
68         output[i] = even_output[i] + odd_output[i]
69         output[i+N/2] = even_output[i] - odd_output[i]
71 # This algorithm takes complex input and output.
73 # We divide the DFT calculation into 2 DFT calculations of size N/2
74 # We then do N/2 complex multiplies followed by N complex additions.
75 # (actually W(0,N) = 1 and W(N/4,N) = -j so we can skip a few of these complex
76 # multiplies... we will skip 1 for i=0 and 1 for i=N/4. Also for i=N/8 and for
77 # i=3*N/8 the W(i,N) values can be special-cased to implement the complex
78 # multiplication using only 2 real additions and 2 real multiplies)
80 # Also note that all the basic stages of this DFT algorithm are easily
81 # reversible, so we can calculate the IDFT with the same complexity.
84 # A varient of this is the radix-2 decimation-in-frequency algorithm :
86 def unscaled_DFT_radix2_freq (N, input, output):
87     even_input = vector(N/2)
88     odd_input = vector(N/2)
89     even_output = vector(N/2)
90     odd_output = vector(N/2)
92     for i in range(N/2):
93         even_input[i] = input[i] + input[i+N/2]
94         odd_input[i] = input[i] - input[i+N/2]
96     for i in range(N/2):
97         odd_input[i] = odd_input[i] * W (i, N)
99     unscaled_DFT (N/2, even_input, even_output)
100     unscaled_DFT (N/2, odd_input, odd_output)
102     for i in range(N/2):
103         output[2*i] = even_output[i]
104         output[2*i+1] = odd_output[i]
106 # Note that the decimation-in-time and the decimation-in-frequency varients
107 # have exactly the same complexity, they only do the operations in a different
108 # order.
110 # Actually, if you look at the decimation-in-time varient of the DFT, and
111 # reverse it to calculate an IDFT, you get something that is extremely close
112 # to the decimation-in-frequency DFT algorithm...
115 # The radix-4 algorithms are slightly more efficient : they take into account
116 # the fact that with complex numbers, multiplications by j and -j are also
117 # "free"... i.e. when you code them using real numbers, they translate into
118 # a few data moves but no real operation.
120 # Let's start with the radix-4 decimation-in-time algorithm :
122 def unscaled_DFT_radix4_time (N, input, output):
123     input_0 = vector(N/4)
124     input_1 = vector(N/4)
125     input_2 = vector(N/4)
126     input_3 = vector(N/4)
127     output_0 = vector(N/4)
128     output_1 = vector(N/4)
129     output_2 = vector(N/4)
130     output_3 = vector(N/4)
131     tmp_0 = vector(N/4)
132     tmp_1 = vector(N/4)
133     tmp_2 = vector(N/4)
134     tmp_3 = vector(N/4)
136     for i in range(N/4):
137         input_0[i] = input[4*i]
138         input_1[i] = input[4*i+1]
139         input_2[i] = input[4*i+2]
140         input_3[i] = input[4*i+3]
142     unscaled_DFT (N/4, input_0, output_0)
143     unscaled_DFT (N/4, input_1, output_1)
144     unscaled_DFT (N/4, input_2, output_2)
145     unscaled_DFT (N/4, input_3, output_3)
147     for i in range(N/4):
148         output_1[i] = output_1[i] * W (i, N)
149         output_2[i] = output_2[i] * W (2*i, N)
150         output_3[i] = output_3[i] * W (3*i, N)
152     for i in range(N/4):
153         tmp_0[i] = output_0[i] + output_2[i]
154         tmp_1[i] = output_0[i] - output_2[i]
155         tmp_2[i] = output_1[i] + output_3[i]
156         tmp_3[i] = output_1[i] - output_3[i]
158     for i in range(N/4):
159         output[i] = tmp_0[i] + tmp_2[i]
160         output[i+N/4] = tmp_1[i] - 1j * tmp_3[i]
161         output[i+N/2] = tmp_0[i] - tmp_2[i]
162         output[i+3*N/4] = tmp_1[i] + 1j * tmp_3[i]
164 # This algorithm takes complex input and output.
166 # We divide the DFT calculation into 4 DFT calculations of size N/4
167 # We then do 3*N/4 complex multiplies followed by 2*N complex additions.
168 # (actually W(0,N) = 1 and W(N/4,N) = -j so we can skip a few of these complex
169 # multiplies... we will skip 3 for i=0 and 1 for i=N/8. Also for i=N/8
170 # the remaining W(i,N) and W(3*i,N) multiplies can be implemented using only
171 # 2 real additions and 2 real multiplies. For i=N/16 and i=3*N/16 we can also
172 # optimise the W(2*i/N) multiply this way.
174 # If we wanted to do the same decomposition with one radix-2 decomposition
175 # of size N and 2 radix-2 decompositions of size N/2, the total cost would be
176 # N complex multiplies and 2*N complex additions. Thus we see that the
177 # decomposition of one DFT calculation of size N into 4 calculations of size
179 # complex multiplies...
182 # The radix-4 decimation-in-frequency algorithm is similar :
184 def unscaled_DFT_radix4_freq (N, input, output):
185     input_0 = vector(N/4)
186     input_1 = vector(N/4)
187     input_2 = vector(N/4)
188     input_3 = vector(N/4)
189     output_0 = vector(N/4)
190     output_1 = vector(N/4)
191     output_2 = vector(N/4)
192     output_3 = vector(N/4)
193     tmp_0 = vector(N/4)
194     tmp_1 = vector(N/4)
195     tmp_2 = vector(N/4)
196     tmp_3 = vector(N/4)
198     for i in range(N/4):
199         tmp_0[i] = input[i] + input[i+N/2]
200         tmp_1[i] = input[i+N/4] + input[i+3*N/4]
201         tmp_2[i] = input[i] - input[i+N/2]
202         tmp_3[i] = input[i+N/4] - input[i+3*N/4]
204     for i in range(N/4):
205         input_0[i] = tmp_0[i] + tmp_1[i]
206         input_1[i] = tmp_2[i] - 1j * tmp_3[i]
207         input_2[i] = tmp_0[i] - tmp_1[i]
208         input_3[i] = tmp_2[i] + 1j * tmp_3[i]
210     for i in range(N/4):
211         input_1[i] = input_1[i] * W (i, N)
212         input_2[i] = input_2[i] * W (2*i, N)
213         input_3[i] = input_3[i] * W (3*i, N)
215     unscaled_DFT (N/4, input_0, output_0)
216     unscaled_DFT (N/4, input_1, output_1)
217     unscaled_DFT (N/4, input_2, output_2)
218     unscaled_DFT (N/4, input_3, output_3)
220     for i in range(N/4):
221         output[4*i] = output_0[i]
222         output[4*i+1] = output_1[i]
223         output[4*i+2] = output_2[i]
224         output[4*i+3] = output_3[i]
226 # Once again the complexity is exactly the same as for the radix-4
227 # decimation-in-time DFT algorithm, only the order of the operations is
228 # different.
231 # Now let us reorder the radix-4 algorithms in a different way :
233 #def unscaled_DFT_radix4_time (N, input, output):
234 #   input_0 = vector(N/4)
235 #   input_1 = vector(N/4)
236 #   input_2 = vector(N/4)
237 #   input_3 = vector(N/4)
238 #   output_0 = vector(N/4)
239 #   output_1 = vector(N/4)
240 #   output_2 = vector(N/4)
241 #   output_3 = vector(N/4)
242 #   tmp_0 = vector(N/4)
243 #   tmp_1 = vector(N/4)
244 #   tmp_2 = vector(N/4)
245 #   tmp_3 = vector(N/4)
246 #
247 #   for i in range(N/4):
248 #       input_0[i] = input[4*i]
249 #       input_2[i] = input[4*i+2]
250 #
251 #   unscaled_DFT (N/4, input_0, output_0)
252 #   unscaled_DFT (N/4, input_2, output_2)
253 #
254 #   for i in range(N/4):
255 #       output_2[i] = output_2[i] * W (2*i, N)
256 #
257 #   for i in range(N/4):
258 #       tmp_0[i] = output_0[i] + output_2[i]
259 #       tmp_1[i] = output_0[i] - output_2[i]
260 #
261 #   for i in range(N/4):
262 #       input_1[i] = input[4*i+1]
263 #       input_3[i] = input[4*i+3]
264 #
265 #   unscaled_DFT (N/4, input_1, output_1)
266 #   unscaled_DFT (N/4, input_3, output_3)
267 #
268 #   for i in range(N/4):
269 #       output_1[i] = output_1[i] * W (i, N)
270 #       output_3[i] = output_3[i] * W (3*i, N)
271 #
272 #   for i in range(N/4):
273 #       tmp_2[i] = output_1[i] + output_3[i]
274 #       tmp_3[i] = output_1[i] - output_3[i]
275 #
276 #   for i in range(N/4):
277 #       output[i] = tmp_0[i] + tmp_2[i]
278 #       output[i+N/4] = tmp_1[i] - 1j * tmp_3[i]
279 #       output[i+N/2] = tmp_0[i] - tmp_2[i]
280 #       output[i+3*N/4] = tmp_1[i] + 1j * tmp_3[i]
282 # We didnt do anything here, only reorder the operations. But now, look at the
283 # first part of this function, up to the calculations of tmp0 and tmp1 : this
284 # is extremely similar to the radix-2 decimation-in-time algorithm ! or more
285 # precisely, it IS the radix-2 decimation-in-time algorithm, with size N/2,
286 # applied on a vector representing the even input coefficients, and giving
287 # an output vector that is the concatenation of tmp0 and tmp1.
288 # This is important to notice, because this means we can now choose to
289 # calculate tmp0 and tmp1 using any DFT algorithm that we want, and we know
290 # that some of them are more efficient than radix-2...
292 # This leads us directly to the split-radix decimation-in-time algorithm :
294 def unscaled_DFT_split_radix_time (N, input, output):
295     even_input = vector(N/2)
296     input_1 = vector(N/4)
297     input_3 = vector(N/4)
298     even_output = vector(N/2)
299     output_1 = vector(N/4)
300     output_3 = vector(N/4)
301     tmp_0 = vector(N/4)
302     tmp_1 = vector(N/4)
304     for i in range(N/2):
305         even_input[i] = input[2*i]
307     for i in range(N/4):
308         input_1[i] = input[4*i+1]
309         input_3[i] = input[4*i+3]
311     unscaled_DFT (N/2, even_input, even_output)
312     unscaled_DFT (N/4, input_1, output_1)
313     unscaled_DFT (N/4, input_3, output_3)
315     for i in range(N/4):
316         output_1[i] = output_1[i] * W (i, N)
317         output_3[i] = output_3[i] * W (3*i, N)
319     for i in range(N/4):
320         tmp_0[i] = output_1[i] + output_3[i]
321         tmp_1[i] = output_1[i] - output_3[i]
323     for i in range(N/4):
324         output[i] = even_output[i] + tmp_0[i]
325         output[i+N/4] = even_output[i+N/4] - 1j * tmp_1[i]
326         output[i+N/2] = even_output[i] - tmp_0[i]
327         output[i+3*N/4] = even_output[i+N/4] + 1j * tmp_1[i]
329 # This function performs one DFT of size N/2 and two of size N/4, followed by
330 # N/2 complex multiplies and 3*N/2 complex additions.
331 # (actually W(0,N) = 1 and W(N/4,N) = -j so we can skip a few of these complex
332 # multiplies... we will skip 2 for i=0. Also for i=N/8 the W(i,N) and W(3*i,N)
333 # multiplies can be implemented using only 2 real additions and 2 real
334 # multiplies)
337 # We can similarly define the split-radix decimation-in-frequency DFT :
339 def unscaled_DFT_split_radix_freq (N, input, output):
340     even_input = vector(N/2)
341     input_1 = vector(N/4)
342     input_3 = vector(N/4)
343     even_output = vector(N/2)
344     output_1 = vector(N/4)
345     output_3 = vector(N/4)
346     tmp_0 = vector(N/4)
347     tmp_1 = vector(N/4)
349     for i in range(N/2):
350         even_input[i] = input[i] + input[i+N/2]
352     for i in range(N/4):
353         tmp_0[i] = input[i] - input[i+N/2]
354         tmp_1[i] = input[i+N/4] - input[i+3*N/4]
356     for i in range(N/4):
357         input_1[i] = tmp_0[i] - 1j * tmp_1[i]
358         input_3[i] = tmp_0[i] + 1j * tmp_1[i]
360     for i in range(N/4):
361         input_1[i] = input_1[i] * W (i, N)
362         input_3[i] = input_3[i] * W (3*i, N)
364     unscaled_DFT (N/2, even_input, even_output)
365     unscaled_DFT (N/4, input_1, output_1)
366     unscaled_DFT (N/4, input_3, output_3)
368     for i in range(N/2):
369         output[2*i] = even_output[i]
371     for i in range(N/4):
372         output[4*i+1] = output_1[i]
373         output[4*i+3] = output_3[i]
375 # The complexity is again the same as for the decimation-in-time varient.
378 # Now let us now summarize our various algorithms for DFT decomposition :
380 # radix-2 : DFT(N) -> 2*DFT(N/2) using N/2 multiplies and N additions
381 # radix-4 : DFT(N) -> 4*DFT(N/2) using 3*N/4 multiplies and 2*N additions
382 # split-radix : DFT(N) -> DFT(N/2) + 2*DFT(N/4) using N/2 muls and 3*N/2 adds
384 # (we are always speaking of complex multiplies and complex additions... a
385 # complex addition is implemented with 2 real additions, and a complex
386 # multiply is implemented with either 2 adds and 4 muls or 3 adds and 3 muls,
387 # so we will keep a separate count of these)
389 # If we want to take into account the special values of W(i,N), we can remove
390 # a few complex multiplies. Supposing N>=16 we can remove :
391 # radix-2 : remove 2 complex multiplies, simplify 2 others
392 # radix-4 : remove 4 complex multiplies, simplify 4 others
393 # split-radix : remove 2 complex multiplies, simplify 2 others
395 # This gives the following table for the complexity of a complex DFT :
396 #       N       real additions  real multiplies complex multiplies
397 #       1               0               0               0
398 #       2               4               0               0
399 #       4              16               0               0
400 #       8              52               4               0
401 #      16             136               8               4
402 #      32             340              20              16
403 #      64             808              40              52
404 #     128            1876              84             144
405 #     256            4264             168             372
406 #     512            9556             340             912
407 #    1024           21160             680            2164
408 #    2048           46420            1364            5008
409 #    4096          101032            2728           11380
410 #    8192          218452            5460           25488
411 #   16384          469672           10920           56436
412 #   32768         1004884           21844          123792
413 #   65536         2140840           43688          269428
415 # If we chose to implement complex multiplies with 3 real muls + 3 real adds,
416 # then these results are consistent with the table at the end of the
417 # www.cmlab.csie.ntu.edu.tw DFT tutorial that I mentionned earlier.
420 # Now another important case for the DFT is the one where the inputs are
421 # real numbers instead of complex ones. We have to find ways to optimize for
422 # this important case.
424 # If the DFT inputs are real-valued, then the DFT outputs have nice properties
425 # too : output and output[N/2] will be real numbers, and output[N-i] will
426 # be the conjugate of output[i] for i in 0...N/2-1
428 # Likewise, if the DFT inputs are purely imaginary numbers, then the DFT
429 # outputs will have special properties too : output and output[N/2] will be
430 # purely imaginary, and output[N-i] will be the opposite of the conjugate of
431 # output[i] for i in 0...N/2-1
433 # We can use these properties to calculate two real-valued DFT at once :
435 def two_real_unscaled_DFT (N, input1, input2, output1, output2):
436     input = vector(N)
437     output = vector(N)
439     for i in range(N):
440         input[i] = input1[i] + 1j * input2[i]
442     unscaled_DFT (N, input, output)
444     output1 = output.real + 0j
445     output2 = output.imag + 0j
447     for i in range(N/2)[1:]:
448         output1[i] = 0.5 * (output[i] + conjugate(output[N-i]))
449         output2[i] = -0.5j * (output[i] - conjugate(output[N-i]))
451         output1[N-i] = conjugate(output1[i])
452         output2[N-i] = conjugate(output2[i])
454     output1[N/2] = output[N/2].real + 0j
455     output2[N/2] = output[N/2].imag + 0j
457 # This routine does a total of N-2 complex additions and N-2 complex
458 # multiplies by 0.5
460 # This routine can also be inverted to calculate the IDFT of two vectors at
461 # once if we know that the outputs will be real-valued.
464 # If we have only one real-valued DFT calculation to do, we can still cut this
465 # calculation in several parts using one of the decimate-in-time methods
466 # (so that the different parts are still real-valued)
468 # As with complex DFT calculations, the best method is to use a split radix.
469 # There are a lot of symetries in the DFT outputs that we can exploit to
470 # reduce the number of operations...
472 def real_unscaled_DFT_split_radix_time_1 (N, input, output):
473     even_input = vector(N/2)
474     even_output = vector(N/2)
475     input_1 = vector(N/4)
476     output_1 = vector(N/4)
477     input_3 = vector(N/4)
478     output_3 = vector(N/4)
479     tmp_0 = vector(N/4)
480     tmp_1 = vector(N/4)
482     for i in range(N/2):
483         even_input[i] = input[2*i]
485     for i in range(N/4):
486         input_1[i] = input[4*i+1]
487         input_3[i] = input[4*i+3]
489     unscaled_DFT (N/2, even_input, even_output)
490     # this is again a real DFT !
491     # we will only use even_output[i] for i in 0 ... N/4 included. we know that
492     # even_output[N/2-i] is the conjugate of even_output[i]... also we know
493     # that even_output and even_output[N/4] are purely real.
495     unscaled_DFT (N/4, input_1, output_1)
496     unscaled_DFT (N/4, input_3, output_3)
497     # these are real DFTs too... with symetries in the outputs... once again
499     tmp_0 = output_1 + output_3        # real numbers
500     tmp_1 = output_1 - output_3        # real numbers
502     tmp__0 = (output_1[N/8] + output_3[N/8]) * sqrt(0.5)        # real numbers
503     tmp__1 = (output_1[N/8] - output_3[N/8]) * sqrt(0.5)        # real numbers
504     tmp_0[N/8] = tmp__1 - 1j * tmp__0           # real + 1j * real
505     tmp_1[N/8] = tmp__0 - 1j * tmp__1           # real + 1j * real
507     for i in range(N/8)[1:]:
508         output_1[i] = output_1[i] * W (i, N)
509         output_3[i] = output_3[i] * W (3*i, N)
511         tmp_0[i] = output_1[i] + output_3[i]
512         tmp_1[i] = output_1[i] - output_3[i]
514         tmp_0[N/4-i] = -1j * conjugate(tmp_1[i])
515         tmp_1[N/4-i] = -1j * conjugate(tmp_0[i])
517     output = even_output + tmp_0               # real numbers
518     output[N/4] = even_output[N/4] - 1j * tmp_1      # real + 1j * real
519     output[N/2] = even_output - tmp_0             # real numbers
520     output[3*N/4] = even_output[N/4] + 1j * tmp_1    # real + 1j * real
522     for i in range(N/4)[1:]:
523         output[i] = even_output[i] + tmp_0[i]
524         output[i+N/4] = conjugate(even_output[N/4-i]) - 1j * tmp_1[i]
526         output[N-i] = conjugate(output[i])
527         output[3*N/4-i] = conjugate(output[i+N/4])
529 # This function performs one real DFT of size N/2 and two real DFT of size
530 # N/4, followed by 6 real additions, 2 real multiplies, 3*N/4-4 complex
531 # additions and N/4-2 complex multiplies.
534 # We can also try to combine the two real DFT of size N/4 into a single complex
535 # DFT :
537 def real_unscaled_DFT_split_radix_time_2 (N, input, output):
538     even_input = vector(N/2)
539     even_output = vector(N/2)
540     odd_input = vector(N/4)
541     odd_output = vector(N/4)
542     tmp_0 = vector(N/4)
543     tmp_1 = vector(N/4)
545     for i in range(N/2):
546         even_input[i] = input[2*i]
548     for i in range(N/4):
549         odd_input[i] = input[4*i+1] + 1j * input[4*i+3]
551     unscaled_DFT (N/2, even_input, even_output)
552     # this is again a real DFT !
553     # we will only use even_output[i] for i in 0 ... N/4 included. we know that
554     # even_output[N/2-i] is the conjugate of even_output[i]... also we know
555     # that even_output and even_output[N/4] are purely real.
557     unscaled_DFT (N/4, odd_input, odd_output)
558     # but this one is a complex DFT so no special properties here
560     output_1 = odd_output.real
561     output_3 = odd_output.imag
562     tmp_0 = output_1 + output_3      # real numbers
563     tmp_1 = output_1 - output_3      # real numbers
565     output_1 = odd_output[N/8].real
566     output_3 = odd_output[N/8].imag
567     tmp__0 = (output_1 + output_3) * sqrt(0.5)  # real numbers
568     tmp__1 = (output_1 - output_3) * sqrt(0.5)  # real numbers
569     tmp_0[N/8] = tmp__1 - 1j * tmp__0           # real + 1j * real
570     tmp_1[N/8] = tmp__0 - 1j * tmp__1           # real + 1j * real
572     for i in range(N/8)[1:]:
573         output_1 = odd_output[i] + conjugate(odd_output[N/4-i])
574         output_3 = odd_output[i] - conjugate(odd_output[N/4-i])
576         output_1 = output_1 * 0.5 * W (i, N)
577         output_3 = output_3 * -0.5j * W (3*i, N)
579         tmp_0[i] = output_1 + output_3
580         tmp_1[i] = output_1 - output_3
582         tmp_0[N/4-i] = -1j * conjugate(tmp_1[i])
583         tmp_1[N/4-i] = -1j * conjugate(tmp_0[i])
585     output = even_output + tmp_0               # real numbers
586     output[N/4] = even_output[N/4] - 1j * tmp_1      # real + 1j * real
587     output[N/2] = even_output - tmp_0             # real numbers
588     output[3*N/4] = even_output[N/4] + 1j * tmp_1    # real + 1j * real
590     for i in range(N/4)[1:]:
591         output[i] = even_output[i] + tmp_0[i]
592         output[i+N/4] = conjugate(even_output[N/4-i]) - 1j * tmp_1[i]
594         output[N-i] = conjugate(output[i])
595         output[3*N/4-i] = conjugate(output[i+N/4])
597 # This function performs one real DFT of size N/2 and one complex DFT of size
598 # N/4, followed by 6 real additions, 2 real multiplies, N-6 complex additions
599 # and N/4-2 complex multiplies.
601 # After comparing the performance, it turns out that for real-valued DFT, the
602 # version of the algorithm that subdivides the calculation into one real
603 # DFT of size N/2 and two real DFT of size N/4 is the most efficient one.
604 # The other version gives exactly the same number of multiplies and a few more
608 # Now we can also try the decimate-in-frequency method for a real-valued DFT.
609 # Using the split-radix algorithm, and by taking into account the symetries of
610 # the outputs :
612 def real_unscaled_DFT_split_radix_freq (N, input, output):
613     even_input = vector(N/2)
614     input_1 = vector(N/4)
615     even_output = vector(N/2)
616     output_1 = vector(N/4)
617     tmp_0 = vector(N/4)
618     tmp_1 = vector(N/4)
620     for i in range(N/2):
621         even_input[i] = input[i] + input[i+N/2]
623     for i in range(N/4):
624         tmp_0[i] = input[i] - input[i+N/2]
625         tmp_1[i] = input[i+N/4] - input[i+3*N/4]
627     for i in range(N/4):
628         input_1[i] = tmp_0[i] - 1j * tmp_1[i]
630     for i in range(N/4):
631         input_1[i] = input_1[i] * W (i, N)
633     unscaled_DFT (N/2, even_input, even_output)
634     # This is still a real-valued DFT
636     unscaled_DFT (N/4, input_1, output_1)
637     # But that one is a complex-valued DFT
639     for i in range(N/2):
640         output[2*i] = even_output[i]
642     for i in range(N/4):
643         output[4*i+1] = output_1[i]
644         output[N-1-4*i] = conjugate(output_1[i])
646 # I think this implementation is much more elegant than the decimate-in-time
647 # version ! It looks very much like the complex-valued version, all we had to
648 # do was remove one of the complex-valued internal DFT calls because we could
649 # deduce the outputs by using the symetries of the problem.
651 # As for performance, we did N real additions, N/4 complex multiplies (a bit
652 # less actually, because W(0,N) = 1 and W(N/8,N) is a "simple" multiply), then
653 # one real DFT of size N/2 and one complex DFT of size N/4.
655 # It turns out that even if the methods are so different, the number of
656 # operations is exactly the same as for the best of the two decimation-in-time
657 # methods that we tried.
660 # This gives us the following performance for real-valued DFT :
661 #       N       real additions  real multiplies complex multiplies
662 #       2               2               0               0
663 #       4               6               0               0
664 #       8              20               2               0
665 #      16              54               4               2
666 #      32             140              10               8
667 #      64             342              20              26
668 #     128             812              42              72
669 #     256            1878              84             186
670 #     512            4268             170             456
671 #    1024            9558             340            1082
672 #    2048           21164             682            2504
673 #    4096           46422            1364            5690
674 #    8192          101036            2730           12744
675 #   16384          218454            5460           28218
676 #   32768          469676           10922           61896
677 #   65536         1004886           21844          134714
680 # As an example, this is an implementation of the real-valued DFT8 :
682 def DFT8 (input, output):
683     even_0 = input + input
684     even_1 = input + input
685     even_2 = input + input
686     even_3 = input + input
688     tmp_0 = even_0 + even_2
689     tmp_1 = even_0 - even_2
690     tmp_2 = even_1 + even_3
691     tmp_3 = even_1 - even_3
693     output = tmp_0 + tmp_2
694     output = tmp_1 - 1j * tmp_3
695     output = tmp_0 - tmp_2
697     odd_0_r = input - input
698     odd_0_i = input - input
700     tmp_0 = input - input
701     tmp_1 = input - input
702     odd_1_r = (tmp_0 - tmp_1) * sqrt(0.5)
703     odd_1_i = (tmp_0 + tmp_1) * sqrt(0.5)
705     output = (odd_0_r + odd_1_r) - 1j * (odd_0_i + odd_1_i)
706     output = (odd_0_r - odd_1_r) - 1j * (odd_0_i - odd_1_i)
708     output = conjugate(output)
709     output = conjugate(output)
710     output = conjugate(output)
713 # Also a basic implementation of the real-valued DFT4 :
715 def DFT4 (input, output):
716     tmp_0 = input + input
717     tmp_1 = input - input
718     tmp_2 = input + input
719     tmp_3 = input - input
721     output = tmp_0 + tmp_2
722     output = tmp_1 - 1j * tmp_3
723     output = tmp_0 - tmp_2
724     output = tmp_1 + 1j * tmp_3
727 # A similar idea might be used to calculate only the real part of the output
728 # of a complex DFT : we take an DFT algorithm for real inputs and complex
729 # outputs and we simply reverse it. The resulting algorithm will only work
730 # with inputs that satisfy the conjugaison rule (input[i] is the conjugate of
731 # input[N-i]) so we can do a first pass to modify the input so that it follows
732 # this rule. An example implementation is as follows (adapted from the
735 def complex2real_unscaled_DFT_split_radix_time (N, input, output):
736     even_input = vector(N/2)
737     input_1 = vector(N/4)
738     even_output = vector(N/2)
739     output_1 = vector(N/4)
741     for i in range(N/2):
742         even_input[i] = input[2*i]
744     for i in range(N/4):
745         input_1[i] = input[4*i+1] + conjugate(input[N-1-4*i])
747     unscaled_DFT (N/2, even_input, even_output)
748     unscaled_DFT (N/4, input_1, output_1)
750     for i in range(N/4):
751         output_1[i] = output_1[i] * W (i, N)
753     for i in range(N/4):
754         output[i] = even_output[i] + output_1[i].real
755         output[i+N/4] = even_output[i+N/4] + output_1[i].imag
756         output[i+N/2] = even_output[i] - output_1[i].real
757         output[i+3*N/4] = even_output[i+N/4] - output_1[i].imag
759 # This algorithm does N/4 complex additions, N/4-1 complex multiplies
760 # (including one "simple" multiply for i=N/8), N real additions, one
761 # "complex-to-real" DFT of size N/2, and one complex DFT of size N/4.
762 # Also, in the complex DFT of size N/4, we do not care about the imaginary
763 # part of output_1, which in practice allows us to save one real addition.
765 # This gives us the following performance for complex DFT with real outputs :
766 #       N       real additions  real multiplies complex multiplies
767 #       1               0               0               0
768 #       2               2               0               0
769 #       4               8               0               0
770 #       8              25               2               0
771 #      16              66               4               2
772 #      32             167              10               8
773 #      64             400              20              26
774 #     128             933              42              72
775 #     256            2126              84             186
776 #     512            4771             170             456
777 #    1024           10572             340            1082
778 #    2048           23201             682            2504
779 #    4096           50506            1364            5690
780 #    8192          109215            2730           12744
781 #   16384          234824            5460           28218
782 #   32768          502429           10922           61896
783 #   65536         1070406           21844          134714
786 # Now let's talk about the DCT algorithm. The canonical definition for it is
787 # as follows :
789 def C (k, N):
790     return cos ((k*pi)/(2*N))
792 def unscaled_DCT (N, input, output):
793     for o in range(N):          # o is output index
794         output[o] = 0
795         for i in range(N):      # i is input index
796             output[o] = output[o] + input[i] * C ((2*i+1)*o, N)
798 # This trivial algorithm uses N*N multiplications and N*(N-1) additions.
801 # One possible decomposition on this calculus is to use the fact that C (i, N)
802 # and C (2*N-i, N) are opposed. This can lead to this decomposition :
804 #def unscaled_DCT (N, input, output):
805 #   even_input = vector (N)
806 #   odd_input = vector (N)
807 #   even_output = vector (N)
808 #   odd_output = vector (N)
809 #
810 #   for i in range(N/2):
811 #       even_input[i] = input[i] + input[N-1-i]
812 #       odd_input[i] = input[i] - input[N-1-i]
813 #
814 #   unscaled_DCT (N, even_input, even_output)
815 #   unscaled_DCT (N, odd_input, odd_output)
816 #
817 #   for i in range(N/2):
818 #       output[2*i] = even_output[2*i]
819 #       output[2*i+1] = odd_output[2*i+1]
821 # Now the even part can easily be calculated : by looking at the C(k,N)
822 # formula, we see that the even part is actually an unscaled DCT of size N/2.
823 # The odd part looks like a DCT of size N/2, but the coefficients are
824 # actually C ((2*i+1)*(2*o+1), 2*N) instead of C ((2*i+1)*o, N).
826 # We use a trigonometric relation here :
827 # 2 * C ((a+b)/2, N) * C ((a-b)/2, N) = C (a, N) + C (b, N)
828 # Thus with a = (2*i+1)*o and b = (2*i+1)*(o+1) :
829 # 2 * C((2*i+1)*(2*o+1),2N) * C(2*i+1,2N) = C((2*i+1)*o,N) + C((2*i+1)*(o+1),N)
831 # This leads us to the Lee DCT algorithm :
833 def unscaled_DCT_Lee (N, input, output):
834     even_input = vector(N/2)
835     odd_input = vector(N/2)
836     even_output = vector(N/2)
837     odd_output = vector(N/2)
839     for i in range(N/2):
840         even_input[i] = input[i] + input[N-1-i]
841         odd_input[i] = input[i] - input[N-1-i]
843     for i in range(N/2):
844         odd_input[i] = odd_input[i] * (0.5 / C (2*i+1, N))
846     unscaled_DCT (N/2, even_input, even_output)
847     unscaled_DCT (N/2, odd_input, odd_output)
849     for i in range(N/2-1):
850         odd_output[i] = odd_output[i] + odd_output[i+1]
852     for i in range(N/2):
853         output[2*i] = even_output[i]
854         output[2*i+1] = odd_output[i];
856 # Notes about this algorithm :
858 # The algorithm can be easily inverted to calculate the IDCT instead :
859 # each of the basic stages are separately inversible...
861 # This function does N adds, then N/2 muls, then 2 recursive calls with
862 # size N/2, then N/2-1 adds again. If we apply it recursively, the total
863 # number of operations will be N*log2(N)/2 multiplies and N*(3*log2(N)/2-1) + 1
864 # additions. So this is much faster than the canonical algorithm.
866 # Some of the multiplication coefficients 0.5/cos(...) can get quite large.
867 # This means that a small error in the input will give a large error on the
868 # output... For a DCT of size N the biggest coefficient will be at i=N/2-1
869 # and it will be slighly more than N/pi which can be large for large N's.
871 # In the IDCT however, the multiplication coefficients for the reverse
872 # transformation are of the form 2*cos(...) so they can not get big and there
873 # is no accuracy problem.
875 # You can find another description of this algorithm at
876 # http://www.intel.com/drg/mmx/appnotes/ap533.htm
880 # Another idea is to observe that the DCT calculation can be made to look like
881 # the DFT calculation : C (k, N) is the real part of W (k, 4*N) or W (-k, 4*N).
882 # We can use this idea translate the DCT algorithm into a call to the DFT
883 # algorithm :
885 def unscaled_DCT_DFT (N, input, output):
886     DFT_input = vector (4*N)
887     DFT_output = vector (4*N)
889     for i in range(N):
890         DFT_input[2*i+1] = input[i]
891         #DFT_input[4*N-2*i-1] = input[i]        # We could use this instead
893     unscaled_DFT (4*N, DFT_input, DFT_output)
895     for i in range(N):
896         output[i] = DFT_output[i].real
899 # We can then use our knowledge of the DFT calculation to optimize for this
900 # particular case. For example using the radix-2 decimation-in-time method :
902 #def unscaled_DCT_DFT (N, input, output):
903 #   DFT_input = vector (2*N)
904 #   DFT_output = vector (2*N)
905 #
906 #   for i in range(N):
907 #       DFT_input[i] = input[i]
908 #       #DFT_input[2*N-1-i] = input[i]  # We could use this instead
909 #
910 #   unscaled_DFT (2*N, DFT_input, DFT_output)
911 #
912 #   for i in range(N):
913 #       DFT_output[i] = DFT_output[i] * W (i, 4*N)
914 #
915 #   for i in range(N):
916 #       output[i] = DFT_output[i].real
918 # This leads us to the AAN implementation of the DCT algorithm : if we set
919 # both DFT_input[i] and DFT_input[2*N-1-i] to input[i], then the imaginary
920 # parts of W(2*i+1) and W(-2*i-1) will compensate, and output_DFT[i] will
921 # already be a real after the multiplication by W(i,4*N). Which means that
922 # before the multiplication, it is the product of a real number and W(-i,4*N).
923 # This leads to the following code, called the AAN algorithm :
925 def unscaled_DCT_AAN (N, input, output):
926     DFT_input = vector (2*N)
927     DFT_output = vector (2*N)
929     for i in range(N):
930         DFT_input[i] = input[i]
931         DFT_input[2*N-1-i] = input[i]
933     symetrical_unscaled_DFT (2*N, DFT_input, DFT_output)
935     for i in range(N):
936         output[i] = DFT_output[i].real * (0.5 / C (i, N))
938 # Notes about the AAN algorithm :
940 # The cost of this function is N real multiplies and a DFT of size 2*N. The
941 # DFT to calculate has special properties : the inputs are real and symmetric.
942 # Also, we only need to calculate the real parts of the N first DFT outputs.
943 # We can try to take advantage of all that.
945 # We can invert this algorithm to calculate the IDCT. The final multiply
946 # stage is trivially invertible. The DFT stage is invertible too, but we have
947 # to take into account the special properties of this particular DFT for that.
949 # Once again we have to take care of numerical precision for the DFT : the
950 # output coefficients can get large, so that a small error in the input will
951 # give a large error on the output... For a DCT of size N the biggest
952 # coefficient will be at i=N/2-1 and it will be slightly more than N/pi
954 # You can find another description of this algorithm at this url :
955 # www.cmlab.csie.ntu.edu.tw/cml/dsp/training/coding/transform/fastdct.html
956 # (It is the same server where we already found a description of the fast DFT)
959 # To optimize the DFT calculation, we can take a lot of specific things into
960 # account : the input is real and symetric, and we only care about the real
961 # part of the output. Also, we only care about the N first output coefficients,
962 # but that one does not save operations actually, because the other
963 # coefficients are the conjugates of the ones we look anyway.
965 # One useful way to use the symetry of the input is to use the radix-2
966 # decimation-in-frequency algorithm. We can write a version of
967 # unscaled_DFT_radix2_freq for the case where the input is symetrical :
968 # we have removed a few additions in the first stages because even_input
969 # is symetrical and odd_input is antisymetrical. Also, we have modified the
970 # odd_input vector so that the second half of it is set to zero and the real
971 # part of the DFT output is not modified. After that modification, the second
972 # part of the odd_input was null so we used the radix-2 decimation-in-frequency
973 # again on the odd DFT. Also odd_output is symetrical because input is real...
975 def symetrical_unscaled_DFT (N, input, output):
976     even_input = vector(N/2)
977     odd_tmp = vector(N/2)
978     odd_input = vector(N/2)
979     even_output = vector(N/2)
980     odd_output = vector(N/2)
982     for i in range(N/4):
983         even_input[N/2-i-1] = even_input[i] = input[i] + input[N/2-1-i]
985     for i in range(N/4):
986         odd_tmp[i] = input[i] - input[N/2-1-i]
988     odd_input = odd_tmp
989     for i in range(N/4)[1:]:
990         odd_input[i] = (odd_tmp[i] + odd_tmp[i-1]) * W (i, N)
992     unscaled_DFT (N/2, even_input, even_output)
993     # symetrical real inputs, real outputs
995     unscaled_DFT (N/4, odd_input, odd_output)
996     # complex inputs, real outputs
998     for i in range(N/2):
999         output[2*i] = even_output[i]
1001     for i in range(N/4):
1002         output[N-1-4*i] = output[4*i+1] = odd_output[i]
1004 # This procedure takes 3*N/4-1 real additions and N/2-3 real multiplies,
1005 # followed by another symetrical real DFT of size N/2 and a "complex to real"
1006 # DFT of size N/4.
1008 # We thus get the following performance results :
1009 #       N       real additions  real multiplies complex multiplies
1010 #       1               0               0               0
1011 #       2               0               0               0
1012 #       4               2               0               0
1013 #       8               9               1               0
1014 #      16              28               6               0
1015 #      32              76              21               0
1016 #      64             189              54               2
1017 #     128             451             125              10
1018 #     256            1042             270              36
1019 #     512            2358             565             108
1020 #    1024            5251            1158             294
1021 #    2048           11557            2349             750
1022 #    4096           25200            4734            1832
1023 #    8192           54544            9509            4336
1024 #   16384          117337           19062           10026
1025 #   32768          251127           38173           22770
1026 #   65536          535102           76398           50988
1029 # We thus get a better performance with the AAN DCT algorithm than with the
1030 # Lee DCT algorithm : we can do a DCT of size 32 with 189 additions, 54+32 real
1031 # multiplies, and 2 complex multiplies. The Lee algorithm would have used 209
1032 # additions and 80 multiplies. With the AAN algorithm, we also have the
1033 # advantage that a big number of the multiplies are actually grouped at the
1034 # output stage of the algorithm, so if we want to do a DCT followed by a
1035 # quantization stage, we will be able to group the multiply of the output with
1036 # the multiply of the quantization stage, thus saving 32 more operations. In
1037 # the mpeg audio layer 1 or 2 processing, we can also group the multiply of the
1038 # output with the multiply of the convolution stage...
1040 # Another source code for the AAN algorithm (implemented on 8 points, and
1041 # without all of the explanations) can be found at this URL :
1042 # http://developer.intel.com/drg/pentiumII/appnotes/aan_org.c . This
1043 # implementation uses 28 adds and 6+8 muls instead of 29 adds and 5+8 muls -
1044 # the difference is that in the symetrical_unscaled_DFT procedure, they noticed
1045 # how odd_input[i] and odd_input[N/4-i] will be combined at the start of the
1046 # complex-to-real DFT and they took advantage of this to convert 2 real adds
1047 # and 4 real muls into one complex multiply.
1050 # TODO : write about multi-dimentional DCT
1053 # TEST CODE
1055 def dump (vector):
1056     str = ""
1057     for i in range(len(vector)):
1058         if i:
1059             str = str + ", "
1060         vector[i] = vector[i] + 0j
1061         realstr = "%+.4f" % vector[i].real
1062         imagstr = "%+.4fj" % vector[i].imag
1063         if (realstr == "-0.0000"):
1064             realstr = "+0.0000"
1065         if (imagstr == "-0.0000j"):
1066             imagstr = "+0.0000j"
1067         str = str + realstr #+ imagstr
1068     return "[%s]" % str
1070 import whrandom
1072 def test(N):
1073     input = vector(N)
1074     output = vector(N)
1075     verify = vector(N)
1077     for i in range(N):
1078         input[i] = whrandom.random() + 1j * whrandom.random()
1080     unscaled_DFT (N, input, output)
1081     unscaled_DFT (N, input, verify)
1083     if (dump(output) != dump(verify)):
1084         print dump(output)
1085         print dump(verify)
1087 #test (64)
1090 # PERFORMANCE ANALYSIS CODE
1092 def display (table):
1093     N = 1
1094     print "#\tN\treal additions\treal multiplies\tcomplex multiplies"
1095     while table.has_key(N):
1096         print "#%8d%16d%16d%16d" % (N, table[N], table[N], table[N])
1097         N = 2*N
1098     print
1100 best_complex_DFT = {}
1102 def complex_DFT (max_N):
1103     best_complex_DFT = (0,0,0)
1104     best_complex_DFT = (4,0,0)
1105     best_complex_DFT = (16,0,0)
1106     N = 8
1107     while (N<=max_N):
1108         # best method = split radix
1109         best2 = best_complex_DFT[N/2]
1110         best4 = best_complex_DFT[N/4]
1111         best_complex_DFT[N] = (best2 + 2*best4 + 3*N + 4,
1112                                best2 + 2*best4 + 4,
1113                                best2 + 2*best4 + N/2 - 4)
1114         N = 2*N
1116 best_real_DFT = {}
1118 def real_DFT (max_N):
1119     best_real_DFT = (0,0,0)
1120     best_real_DFT = (2,0,0)
1121     best_real_DFT = (6,0,0)
1122     N = 8
1123     while (N<=max_N):
1124         # best method = split radix decimate-in-frequency
1125         best2 = best_real_DFT[N/2]
1126         best4 = best_complex_DFT[N/4]
1127         best_real_DFT[N] = (best2 + best4 + N + 2,
1128                             best2 + best4 + 2,
1129                             best2 + best4 + N/4 - 2)
1130         N = 2*N
1132 best_complex2real_DFT = {}
1134 def complex2real_DFT (max_N):
1135     best_complex2real_DFT = (0,0,0)
1136     best_complex2real_DFT = (2,0,0)
1137     best_complex2real_DFT = (8,0,0)
1138     N = 8
1139     while (N<=max_N):
1140         best2 = best_complex2real_DFT[N/2]
1141         best4 = best_complex_DFT[N/4]
1142         best_complex2real_DFT[N] = (best2 + best4 + 3*N/2 + 1,
1143                                     best2 + best4 + 2,
1144                                     best2 + best4 + N/4 - 2)
1145         N = 2*N
1147 best_real_symetric_DFT = {}
1149 def real_symetric_DFT (max_N):
1150     best_real_symetric_DFT = (0,0,0)
1151     best_real_symetric_DFT = (0,0,0)
1152     best_real_symetric_DFT = (2,0,0)
1153     N = 8
1154     while (N<=max_N):
1155         best2 = best_real_symetric_DFT[N/2]
1156         best4 = best_complex2real_DFT[N/4]
1157         best_real_symetric_DFT[N] = (best2 + best4 + 3*N/4 - 1,
1158                                      best2 + best4 + N/2 - 3,
1159                                      best2 + best4)
1160         N = 2*N
1162 complex_DFT (65536)
1163 real_DFT (65536)
1164 complex2real_DFT (65536)
1165 real_symetric_DFT (65536)
1168 print "complex DFT"
1169 display (best_complex_DFT)
1171 print "real DFT"
1172 display (best_real_DFT)
1174 print "complex2real DFT"
1175 display (best_complex2real_DFT)
1177 print "real symetric DFT"
1178 display (best_real_symetric_DFT)